la distance du fil au point M où l’on calcule le
champ électrique. Pour des raisons de symétrie, ce champ est radial. On a :
2πrh E =
λh
ε 0
soit
E =
λ
2πε 0 r
λ > 0
E est dans le sens de
u r
λ < 0
E est opposé à
u r
⇒
E =
λ
2πε 0 r
u r
3) Circonférence : non.
4) Disque : non.
5) Plan infini. On peut appliquer le théorème de Gauss : la distribution est invariante
par translation quelconque parallèle au plan et V ne dépend donc que de la distance
z au plan.
Par conséquent, le champ
E = −
− − →
grad V = −
dV
dz
e z est perpendiculaire au plan (π).
Tant que le calcul est fait en un point M tel
que (π) puisse être considéré comme infini,
E
est uniforme de part de d’autre de π, seul son
sens change. En effet, si l’on prend pour surface de Gauss un cylindre de hauteur h et de
surface de base S, symétrique par rapport à
(π), (voir figure ci-contre), on a :
E ·
N dS =
q int
ε 0
⇒ 2E S =
σS
ε 0
d’où :
E =
σ
2ε 0
Le sens de
E indiqué sur la figure correspond
à σ > 0. Les sens de
E 1 et
E 2 changent si σ < 0.
6) Dan le cas de la sphère creuse ou pleine, on peut appliquer le théorème de Gauss.
Dans les deux cas le champ radial ; centrifuge si σ (ou ρ) > 0, centripète si σ
(ou ρ) < 0
Dans les deux cas, la surface de Gauss est une sphère de rayon r = O M. On a :
E ·
N dS =
q int
ε 0
,
N = =
e r
70
3 Théorème de Gauss
N 1
N 2
E 1
E 2 = – E 1
M
S
h
N
π
σ > O
h
r
M
u r