3) À partir de l’expression de ce champ sur une sphère de centre O et de rayon r,
déterminer la charge interne Q(r) contenue dans cette sphère. En déduire la charge
totale de la distribution.
4) Calculer la densité volumique de charge ρ, à la distance r, en précisant son signe.
5) Montrer qu’au point O, il existe une charge positive finie, dont on précisera la
valeur en fonction des données. Quelle est alors l’expression du champ au voisinage
de O ?
6) Comment peut-on finalement décrire la distribution de charge proposée ?
3.5. Exprimer le champ électrique créé en tout point de
l’espace par une distribution volumique de charge
ρ(> 0) répartie uniformément entre deux cylindres
coaxiaux de longueur infinie de rayons respectifs R 1 et
R 2 (R 1 < R 2 ),
1) en utilisant le théorème de Gauss,
2) à partir de l’équation locale :
div
E =
ρ
ε 0
3.6. Une sphère de centre O et de rayon R contient une charge Q répartie uniformément avec une densité volumique ρ =
3Q
4πR 3 .
1) Exprimer le potentiel en tout point de l’espace en utilisant les équations locales de
Laplace et de Poisson.
2) En déduire le champ électrique
E(r).
3) Retrouver l’expression de
E(r) en appliquant le théorème de Gauss.
Corrigés
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
R 2
R 1
CORRIGÉS
3.1. 1) Fil de longueur finie : non, on ne peut appliquer le théorème de Gauss.
2) Fil de longueur infinie : oui. Dans ce cas, la surface de Gauss est un cylindre ayant
pour axe le fil. Soit h et r respectivement la hauteur et le rayon de ce cylindre, r étant