Exprimer :
a) le champ en un point M intérieur à la cavité en fonction de
r 1 =
−−→
O 1 M et
r 2 =
−−→
O 2 M . Que peut-on en conclure ?
b) Le champ en un point N extérieur à la sphère de rayon R en fonction de
r 1 =
− − →
O 1 N
et
r 2 =
− − →
O 2 N .
3.3. Une sphère de centre O et de rayon R porte une charge +3q (q > 0) répartie
uniformément dans son volume avec une densité uniforme ρ. À l’intérieur de la
sphère se trouvent trois charges ponctuelles, chacune égale à −q, placées aux sommets A, B et C d’un triangle équilatéral ayant O comme centre de gravité.
1) Déterminer le champ électrique
E 1 créé en A par
les deux charges B et C, en fonction de r = O A.
2) En utilisant le théorème de Gauss, déterminer le
champ électrique
E 2 créé en A par la distribution
volumique de charges.
3) En déduire l’expression de r pour que la charge
placée en A soit en équilibre.
4) Déterminer le potentiel électrostatique V 1 créé en A par les charges ponctuelles −q
placées en B et C. Calculer le potentiel V 2 créé par la distribution volumique de
charges sachant que V 2 (0) = 0 . En déduire le potentiel total V A au point A.
3.4. On considère une certaine distribution de charges positives et négatives à symétrie sphérique de centre O, telle que le potentiel électrique V (M) qu’elle crée en un
point M distant de r du point O soit de la forme (potentiel dit écranté) :
V (M) =
A
4πε 0 r
exp(−r/a)
où A et a sont des constantes positives.
1) Quelles sont les dimensions de A et de a ?
2) Calculer le champ
E(M) correspondant, en tout point de l’espace (excepté O).
68
3 Théorème de Gauss
A
R
O
r
C
B
a) le champ en un point M intérieur à la cavité en fonction de
r 1 =
−−→
O 1 M et
r 2 =
−−→
O 2 M . Que peut-on en conclure ?
b) Le champ en un point N extérieur à la sphère de rayon R en fonction de
r 1 =
− − →
O 1 N
et
r 2 =
− − →
O 2 N .
3.3. Une sphère de centre O et de rayon R porte une charge +3q (q > 0) répartie
uniformément dans son volume avec une densité uniforme ρ. À l’intérieur de la
sphère se trouvent trois charges ponctuelles, chacune égale à −q, placées aux sommets A, B et C d’un triangle équilatéral ayant O comme centre de gravité.
1) Déterminer le champ électrique
E 1 créé en A par
les deux charges B et C, en fonction de r = O A.
2) En utilisant le théorème de Gauss, déterminer le
champ électrique
E 2 créé en A par la distribution
volumique de charges.
3) En déduire l’expression de r pour que la charge
placée en A soit en équilibre.
4) Déterminer le potentiel électrostatique V 1 créé en A par les charges ponctuelles −q
placées en B et C. Calculer le potentiel V 2 créé par la distribution volumique de
charges sachant que V 2 (0) = 0 . En déduire le potentiel total V A au point A.
3.4. On considère une certaine distribution de charges positives et négatives à symétrie sphérique de centre O, telle que le potentiel électrique V (M) qu’elle crée en un
point M distant de r du point O soit de la forme (potentiel dit écranté) :
V (M) =
A
4πε 0 r
exp(−r/a)
où A et a sont des constantes positives.
1) Quelles sont les dimensions de A et de a ?
2) Calculer le champ
E(M) correspondant, en tout point de l’espace (excepté O).
68
3 Théorème de Gauss
A
R
O
r
C
B