On pourrait de même retrouver les expressions du champ
E(r) à partir de la
loi de Gauss locale :
⎧
⎨
⎩
div
E =
ρ
ε 0
à l intérieur
div
E = 0 à l extérieur
en prenant, par suite de la symétrie sphérique (cf. 1.6.3)
div
E =
1
r 2
d
dr
(r 2 E r )
3.8. RÉCAPITULATION
Les exemples d’application présentés jusqu’ici montrent que la détermination
du champ
E créé par des charges dans le vide peut se faire en suivant trois
méthodes différentes :
1) par un calcul direct, en partant de l’expression du champ créé par une
charge ponctuelle ou par un élément différentiel de charge, et en la sommant
ensuite sur la distribution de charge,
2) en appliquant le théorème de Gauss, si la symétrie de la distribution de
charge est élevée (sphérique, cylindrique, plane),
3) en appliquant les équations locales, en tenant compte des conditions aux
limites.
On peut résumer les lois locales dans le vide de la manière suivante :
66
3 Théorème de Gauss
Relation entre champ et potentiel :
E = −
− − →
grad V
Le champ
E est irrotationnel :
− →
rot
E =
0
Théorème de Gauss :
div
E =
ρ
ε 0
Équation de Poisson
V +
ρ
ε 0
= 0
Équation de Laplace
(en l’absence de charges) :
V = 0
Conditions de passage entre
deux distributions :
⎧
⎨
⎩
E 1T =
E 2T
E 2N −
E 1N =
σ
ε 0
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