Par suite de l’absence de charge pour r > R, on a :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
r R :
1
r
∂ 2 (r V )
∂r 2 = 0
r R :
1
r
∂ 2 (r V )
∂r 2 = −
ρ
ε 0
La 1 re équation donne :
r V = Ar + B ⇒ V = A +
B
r
V (r) étant nul à l’infini ⇒ A = 0 ⇒ V =
B
r
La 2 e équation s’écrit :
∂ 2 (r V )
∂r 2 = −ρ
r
ε 0
⇒
∂(r V )
∂r
= −
ρr 2
2ε 0
+ C
⇒ r V = −
ρr 3
6ε 0
+ Cr + D ⇒ V = −
ρr 2
6ε 0
+ C +
D
r
V (r) étant fini en r = 0 ⇒ D = 0
Il reste donc à déterminer les deux constantes B et C.
Continuité de V en r = R :
B
R
= −
ρR 2
6ε 0
+ C
Continuité de E = −
∂ V
∂r
en r = R :
B
R 2 =
ρR
3ε 0
On en déduit :
B =
ρR 3
6ε 0
C =
ρR 2
2ε 0
D’où finalement :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
pour r R : V ext =
ρR 3
3ε 0
pour r R : V int =
ρR 2
2ε 0
1 −
r 2
3R 2
Ce sont les mêmes expressions que celles obtenues en appliquant le théorème de Gauss.
3.1 FLUX DU CHAMP ÉLECTRIQUE CRÉÉ PAR UNE CHARGE PONCTUELLE
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