D’où la variation de E en fonction de r représentée sur la figure.
3) Calcul du potentiel
Le champ
E étant radial, dV = −
E ·
− →
dr = −E dr. À l’extérieur, on a :
V ext = −
E ext dr = −
ρR 3
3ε 0
dr
r 2 =
ρR 3
3ε 0 r
+ C 1
Lorsque
r −→ ∞ V −→ 0
⇒
C 1 = 0.
À l’intérieur :
V int = −
E int dr
= −
ρ
3ε 0
r dr
= −
ρr 2
6ε 0
+ C 2
La continuité de V à la surface de la sphère donne :
ρR 3
3ε 0 R
= −
ρR 2
6ε 0
+ C 2
⇒
C 2 =
ρR 2
2ε 0
Finalement :
V int = ρ
R 2
2ε 0
1 −
r 2
3R 2
Exemple 3. Application de l’équation de Poisson
Retrouver l’expression du potentiel V (r) créé par une sphère chargée d’une
densité volumique ρ en intégrant l’équation de Poisson.
L’équation locale de Poisson s’écrit :
V = −
ρ
ε 0
Par suite de la symétrie sphérique, on a :
V =
2
r
∂ V
∂r
+
∂ 2 V
∂r 2 =
1
r
∂ 2 (r V )
∂r 2
64
3 Théorème de Gauss
R
O
r
V
R
2
2ε 0
ρ
R
2
3ε 0
ρ