Exemple 2. Champ créé par une sphère chargée d’une densité volumique ρ uniforme
Ce problème a déjà été résolu par un calcul direct dans l’exemple 4 du chapitre 2. Le calcul était limité à un point M à l’extérieur de la sphère. Il s’agit ici de l’étendre à tout point de l’espace.
Par suite de la symétrie sphérique, on peut considérer que V = V (r) et par
conséquent que
E = −
− − →
grad V = −(dV /dr) e r est radial d’une part, et ne
dépend que de r d’autre part.
1) Champ à l’extérieur : O M R.
Soit (S 1 ) la surface de Gauss passant par le
point M extérieur (sphère de rayon r).
On a :
E ext dS = E ext
(S 1 )
dS = 4πr 2 E ext
q int
ε 0
=
4
3
π
R 3
ε 0
ρ
Le théorème de Gauss donne donc :
4πr 2 E ext =
4
3
π
R 3
ε 0
ρ ⇒
E ext = ρ
R 3
3ε 0 r 2
e r =
K Q
r 2
e r
expression déjà trouvée par le calcul direct.
2) Champ à l’intérieur : O P R.
Soit (S 2 ) la surface de Gauss passant par le point P intérieur (sphère de
rayon r).
On a encore :
(S 2 )
E int ·
− →
dS = 4πr 2 E int
q int
ε 0
=
4
3
π
r 3
ε 0
ρ
Le théorème de Gauss donne cette fois :
4πr 2 E int =
4
3
π
r 3
ε 0
ρ
E int =
ρr
3ε 0
u r
3.7 EXEMPLES D’APPLICATION
63
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R
P
O
M
E ext
E int
R
O
r
R
3ε 0
ε 0
ρ