3.7. EXEMPLES D’APPLICATION
Exemple 1. Champ créé par un fil rectiligne infini chargé d’une densité
linéïque
La distribution de charge est invariante par
rotation autour du fil et par translation parallèle au fil : le potentiel et le champ ne peuvent
donc dépendre des coordonnées cylindriques
ϕ et z :
V = V (r) et
E = −
− − →
grad V = −
dV
dr
e r
Le champ électrique est donc radial.
Pour calculer le champ en M, on peut alors choisir comme surface fermée
d’intégration (S) un cylindre de révolution autour du fil, de rayon r et de
hauteur h (surface de Gauss).
Le flux sortant par les bases de (S) étant nul, on a :
= =
(S)
E ·
− →
dS =
(S lat.)
E dS = E
(S lat.
dS = 2πrh E
q int
ε 0
=
λh
ε 0
Le théorème de Gauss s’écrit donc :
2πrh E =
λh
ε 0
⇒
E =
λ
2πε 0 r
e r
Le potentiel en M se déduit de
E par
E = −
− − →
grad V ⇒ dV = −E dr
D’où :
V = −
E dr = −
λ
2πε 0
ln r + cte
Les lignes de champ sont des droites radiales, et les surfaces équipotentielles des cylindres coaxiaux, de révolution autour du fil.
Notez qu’il n’est pas possible ici de choisir la constante de sorte que le
potentiel soit nul à l’infini : ceci est dû à la présence de charges à l’infini.
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3 Théorème de Gauss
r
M
h
λ
(S)
e r
E