3.5. ÉQUATIONS DE POISSON ET DE LAPLACE
En présence d’une densité volumique de charge, on peut écrire les deux lois
locales :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
E = −
− − →
grad V
div
E =
ρ
ε 0
⇒ div(−
− − →
grad V ) =
ρ
ε 0
Or div (
− − →
grad) =
∇ ·
∇ = . On en déduit :
V +
ρ
ε 0
= 0
(équation de Poisson)
(3.4)
et dans le vide :
V = 0
(équation de Laplace)
(3.5)
3.6. CONDITIONS DE PASSAGE À L’INTERFACE
ENTRE DEUX DISTRIBUTIONS DE CHARGES DIFFÉRENTES
Soit deux points M 1 et M 2 infiniment voisins du
point M pris sur l’interface séparant les deux distributions.
En ces points, on a respectivement :
E 1 = E 1T
T + E 1N
N 12
E 2 = E 2T
T + E 2N
N 12
où
T est le vecteur unitaire porté par la tangente en M à l’interface, et
N 12 est
le vecteur unitaire normal à l’interface, orienté du milieu (1) vers le milieu (2).
On veut exprimer que la circulation de
E le long du contour fermé élémentaire (C) représenté sur la figure est nulle. En supposant que la contribution
des côtés AD et BC est négligeable devant celle des côtés AB et DC, on peut
écrire :
(C)
E ·
− →
d = 0 = E 1T AB − E 2T C D avec AB = C D
60
3 Théorème de Gauss
A
M
M 1
M 2
D
C
B
N 12
N 12
E 1
T
E 2
ρ 1
ρ 2
1
2