De ces relations, on déduit la forme locale suivante pour le théorème de Gauss :
div
E =
ρ
ε 0
(3.3)
Cette deuxième loi locale de l’électrostatique
(comme la première
E = −
− − →
grad V ou
− →
rot
E =
0) présente un caractère général, elle ne fait
intervenir que le point considéré indépendamment de toute symétrie globale.
3.4. CONSERVATION DU FLUX
LE LONG D’UN TUBE DE CHAMP
Un tube de champ est constitué par toutes les lignes de champ qui s’appuient sur
un contour fermé : contour (C 1 ) sur la
figure, qui devient (C 2 ) un peu plus loin,
dans le sens du champ.
Si le tube compris entre (C 1 ) et (C 2 ) ne contient aucune charge, on a : ρ = 0.
Comme aucun flux ne sort de la paroi latérale du tube, on a :
tube = 1 (sortant) + 2 (sortant)
=
(τ)
ρ
ε 0
dτ = 0
D’après l’orientation des vecteurs
N 1 et
N 2 , on voit que 1 (sortant) est négatif, alors que 2 (sortant) est positif.
Si on choisit d’orienter les deux normales dans le sens de
E, on peut définir
des flux 1 et 2 de même signe, tels que 1 = − 1 et 2 = 2 . On peut
alors écrire :
1 = 2
qui exprime à l’échelle globale que le flux est conservatif à travers les différentes sections du tube.
À l’échelle locale, en l’absence de charge, la conservation du flux de
E s’exprime simplement par :
div
E = 0
3.4 CONSERVATION DU FLUX LE LONG D’UN TUBE DE CHAMP
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
(C 2 )
(C 1 )
(S 1 )
(S 2 )
N 1
E 1
N 2
E 2