3.2. THÉORÈME DE GAUSS
On considère plusieurs charges q i , les unes à
l’intérieur du volume τ, les autres à l’extérieur.
Si q i est à l’intérieur : i =
q i
ε 0
Si q i est à l’extérieur : i = 0
Par conséquent, le flux du champ résultant à travers (S) n’est dû qu’aux seules charges intérieures à S :
=
S
E ·
− →
dS =
i
q i
ε 0
(charges intérieures uniquement)
(3.1)
Intérêt du théorème de Gauss
Par rapport au calcul direct du champ
E, le théorème peut présenter des avantages si des considérations de symétrie s’avèrent favorables : par exemple :
E ⊥
N (
E ·
N = 0) en tout point de la surface ou encore norme de
E constante.
3.3. LOI LOCALE ET LOI INTÉGRALE
Soit une surface (S) fermée, contenant une charge Q répartie uniformément
dans le volume τ qu’elle entoure, la densité volumique étant ρ.
On a alors :
=
(S)
E ·
− →
dS =
1
ε 0
(τ)
ρ dτ =
Q int
ε 0
(3.2)
Cette écriture constitue la forme intégrale du théorème de Gauss.
Le théorème de la divergence permet d’écrire par ailleurs :
=
S
E ·
− →
dS =
τ
div
E dτ
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3 Théorème de Gauss
q 1
q 2
q 3
q 4
(S)
(τ)