2.4. 1) Cas d’une distribution surfacique hémisphérique
Par symétrie, le champ
E 1 produit par l’hémisphère, portant une densité surfacique σ > 0, a
le sens du vecteur unitaire
e x porté par l’axe Ox.
On pose :
O P = R
P H = R sin θ
La charge élémentaire σ dS, prise sur la couronne
de rayon H P, contribue au champ total par :
dE 1 = K
σ dS
R 2 cos θ
avec
dS = 2πR sin θR dθ
dE 1 =
σ
4πε 0
2πR 2
R 2 sin θ cos θ dθ
=
σ
4ε 0
2 sin θ cos θ dθ =
σ
4ε 0
sin 2θ dθ
E 1 =
σ
4ε 0
π
2
0
sin 2θ dθ =
σ
8ε 0
[−cos 2θ]
π/2
0
E 1 =
σ
4ε 0
e x
2) Cas d’une distribution volumique hémisphérique
Pour trouver la correspondance entre les densités de charge surfacique et volumique,
on écrit que la charge 2πr 2 σ portée par la distribution surfacique précédente est
maintenant portée par la demi-coquille de rayon r, d’épaisseur dr, donc de volume
dτ = 2πr 2 dr, soit
2πr 2 σ −→ 2πr 2 drρ
et
σ = ρ dr
Champ créé par cette coquille au point O :
E 1 =
σ
4ε 0
e x
−→
−→
dE 2 =
ρ dr
4ε 0
e x
On en déduit pour le champ total :
E 2 =
ρ
4ε 0
R
0
dr
e x =
ρR
4ε 0
e x
3) Calcul direct
− →
dE = K
dq
r 2
u O M ⇒ dE x =
R dq cos θ
r 2
50
2 Champ électrostatique dans le vide
P
H
r
e x
E 1
x
O
dθ
θ