avec
dS = dr r dθ
et
P M =
z
cos α
−→
d
2 E =
K r dr dθ
z 2
σ cos 2 α
Le champ dE z créé par la couronne comprise entre les deux rayons r et r + dr est :
dE z =
K rdr
z 2 σ cos 3 α
2π
0
dθ = K
2πr dr
z 2 σ cos
3 α
On a, pour tous les éléments de la couronne :
tan α =
r
z
⇒
dα
cos 2 α
=
dr
z
dE z = K
2π
z 2 z(tan α)z
dα
cos 2 α
σ cos
3 α
= K 2πσ sin α dα
Le champ E z créé par le disque de rayon R est donc :
E z = K 2πσ
α 0
0
sin α dα =
σ
2ε 0
(1 − cos α 0 )
E =
σ
2ε 0
1 −
z
(z 2 + r 2 )
1
2
e z
2) Quand R tend vers l’infini, alors :
E −→
σ
2ε 0
e z
3) D’après le principe de superposition, le champ
E créé par le plan percé d’un trou est :
E =
E 1 +
E 2
où
E 1 est le champ créé par le plan infini chargé
avec une densité +σ,
E 2 est le champ créé par le disque chargé avec une
densité −σ,
E =
σ
2ε 0
k +
−
σ
2ε 0
1 −
z
(z 2 + r 2 ) 1/2
e z
E =
σ
2ε 0
z
(z 2 + r 2 ) 1/2
e z
Corrigés
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z
O
P
z'