On a successivement :
dV M = K
dq
r 1
dq = σq dS
dS = 2πR sin θR dθ
dq = σ2πR sin θR dθ
=
Q
2
sin θ dθ
où Q = 4πr 2 σ est la charge totale portée par la sphère
r 2
1 = R 2 + r 2 − 2Rr cos θ
2r 1 dr 1 = 2Rr sin θ dθ
dV M = K
Q
2
sin θ dθ
dr 1
Rr sin θ dθ
V M =
K Q
2Rr
r+R
r−R
dr 1 = K
Q
r
Tout se passe comme si la charge Q de la sphère était concentrée au
centre O.
2) Sphère uniformément chargée en volume
Soit ρ la charge volumique. On peut considérer la sphère comme engendrée
par une coque sphérique de rayon a et d’épaisseur da, quand a varie de O à R.
Ainsi, on peut appliquer les résultats de a).
On a :
dV M =
K dq
r
dq = 4πa 2 ρda
V M =
K 4πρ
r
R
0
a 2 da
= K
4
3
πρ
R 3
r
= K
Q
r
où Q =
4
3
πR 3 ρ est la charge totale portée par la sphère.
Là encore, tout se passe comme si toute la charge Q de la sphère était ponctuelle et située au centre O.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
M
O
R
P
R d θ
θ
r
r 1
2.7 EXEMPLES D’APPLICATION
37
M
R
O
a
r