1) Calcul du potentiel
V =
λR
2ε 0 (R 2 + z 2 ) 1/2 est à remplacer par dV =
σr dr
2ε 0 (r 2 + z 2 ) 1/2
V =
σ
2ε 0
R
0
r dr
(r 2 /z 2 ) 1/2
=
σ
2ε 0
[(r 2 + z 2 ) 1/2 ] R
0
=
σ
2ε 0
[(R 2 + z 2 ) 1/2 − |z|]
2) Calcul du champ
En faisant le même calcul directement, ou
en passant par
E = −
− − →
grad V, on trouve :
E =
σz
2ε 0
1
|z|
−
1
(R 2 + z 2 ) 1/2
e z
Remarque :
• On peut noter la discontinuité du champ
E au passage par le point O(z = 0).
• Le champ créé par un plan portant une
densité de charge σ peut se déduire du
résultat relatif au disque, en faisant tendre R vers l’infini.
On trouve :
E =
σ
2ε 0
z
|z|
e z
• Le calcul direct du champ
E créé par un disque chargé superficiellement,
en un point M de son axe, sera proposé comme exercice.
Exemple 4. Potentiel créé par une sphère de centre O et de rayon R,
chargée uniformément, en un point M extérieur à la sphère.
1) Sphère chargée en surface
Soit σ la charge surfacique.
36
2 Champ électrostatique dans le vide
V
O
z
σR
2ε 0
z
O
σ
σ
E 2ε 0
e z
e z
=
σ
E
2ε 0
e z
= –