V =
K λ
(z 2 + R 2 ) 1/2
2πR
0
d
V (z) =
λR
2ε 0 (R 2 + z 2 ) 1/2
3) Calcul du champ à partir du potentiel
V =
λR
2ε 0 (R 2 + z 2 ) 1/2 + Cte
E = −
− − →
grad V
On a successivement :
E x = −
∂ V
∂ x
= 0
E y = −
∂ V
∂ y
= 0
E z = −
dV
dz
=
λRz
2ε 0 (R 2 + z 2 ) 3/2
E (z) =
λRz
2ε 0 (R 2 + z 2 ) 3/2
e z
Exemple 3. Champ créé par un disque de rayon R portant une densité
de charge surfacique uniforme σ =
dq
dS
, en un point M de son axe Oz.
On suppose σ > 0. Calculer le potentiel et en déduire le champ.
On peut considérer le disque comme engendré par un fil circulaire de rayon
r et d’épaisseur dr, quand r varie de O à R.
De la sorte, on peut appliquer les résultats de
l’exemple précédent.
Pour trouver la correspondance des densités
de charge, on écrit que la charge 2πrλ portée
par le fil de l’exemple précédent est maintenant portée par le fil de même rayon mais d’épaisseur dr. On a donc la correspondance :
2πrλ −→ 2πr drσ et λ −→ σ dr
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
V
O
z
2.7 EXEMPLES D’APPLICATION
35
O
r
M
E
z