D’où :
=
τ
r
4 sin θ dr dθ dϕ
=
a
0
r
4 dr
π
2
0
sin θ dθ
2π
0
dϕ
=
a 5
5
× 1 × 2π =
2πa 5
5
1.8. 1)
V = 2z e x + 3 e y + 2x y e z
div
V =
∂ V x
∂ x
+
∂ V y
∂ y
+
∂ V z
∂z
= 0
Soit S la surface totale de la demi-sphère (hémisphère + base) et τ le volume de cette demi-sphère.
Le théorème de la divergence permet d’écrire :
S = =
(S)
V ·
N dS =
(τ)
div
V dτ = 0
(sortant)
hémisphère
+ (sortant)
disque
= 0 ⇒ (sortant)
hémisphère
= (rentrant)
disque
= 0
2) On en déduit :
(sortant)
hémisphère
=
disque
2x y dS avec
⎧
⎨
⎩
x = r cos θ
y = r sin θ
dS = r dr dθ
=
disque
2r
3 sin θ cos θ dθ dr
= 2
2π
0
sin θ cos θ dθ
R
0
r
3 dr = 0
1.9.
V = K
r
r 3 = K
e r
r 2
a) Si la surface fermée contient l’origine, on ne peut pas appliquer le théorème de
Green-Ostrogradsky car div
V n’est pas définie en O. Il faut faire un calcul direct :
=
(S)
V ·
N dS = K
(S)
dS
r 2
N · ·
e r
= K
(S)
d = 4πk
Corrigés
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z
x
O
N
a
dS
y
O
S