b) Si la surface ne contientpas le point O, on a :
=
(S)
V ·
N dS =
(τ)
div
V dτ = 0 puisque div
e r
r 2 = 0
1.10. Théorème de Stokes :
C =
(C)
V ·
− →
d =
(S)
− →
rot
V ·
− →
d S
=
V = 2y e x + 3x
e y − z
2
e z
a) Calcul du rotationnel : on a ici
− →
rot
V = =
e z .
− →
dS = dS
N
dS = R 2 sin θ dθ dϕ
N = =
e r
C =
S
− →
rot
V ·
N dS = R
2
π
2
0
sin θ cos θ dθ
2π
0
dϕ
= πR
2
= 9π
b) Calcul direct :
On a :
− →
d = R dα
e α où
e α est le vecteur unitaire
porté par la tangente à (C).
e α = −(sin α) e x + (cos α) e y
V ·
− →
d = −2y(sin α)R dα + 3x(cos α)R dα
avec
x = R cos α
et
y = R sin α
On en déduit :
C =
C
V ·
− →
d
C = −2R
2
2π
0
sin
2 α dα + 3R
2
2π
0
cos
2 α dα
= −2πR
2
+ 3πR
2
= πR
2
= 9π.
26
1 Calcul vectoriel
z
N
x
O
(C )
(S )
θ
y
e z
R
M
x
O
(C )
α
y
e x
e y
e α
e r