Par conséquent,
− →
rot
e r
r 2
=
0
sauf pour r = 0 où
V n’est pas défini.
1.6.
V (M) = 4xz e x − y 2
e y + yz e z
a) Face x = 1 : dS = dy dz
n = =
e x
1 =
1
0
4z dz
1
0
dy = 2
b) Face x = 0 : dS = dy dz
n = −− e x
2 = 0
c) Face y = 1 : dS = dx dz
N = =
e y
3 = −
1
0
dx
1
0
dz = −1
d) Face y = 0 : dS = dx dz
N = −− e y
⇒
4 = 0
e) Face z = 0 : dS = dx dy
N = −− e z
⇒
5 = 0
f) Face z = 1 : dS = dx dy
N = =
e z
6 =
1
0
y dy
1
0
dx =
1
2
total = 2 − 1 +
1
2
=
3
2
1.7. La surface totale est constituée par la surface de l’hémisphère plus la surface de
la base (surface fermée).
On peut calculer le flux directement, mais il est plus
commode d’utiliser le théorème de la divergence.
V = xz 2
e x + (x 2 y − z 3 ) e y + (2x y + y 2 z) e z
=
(S)
V ·
− →
dS =
(τ)
div
V dτ
div
V = z 2 + x 2 + y 2 = r 2
dτ = r 2 sin θ dθ dr dϕ
24
1 Calcul vectoriel
z
x
O
1
1
1
y
e z
e x
e y
z
x
O
N
a
dS
y