C =
AB
E ·
− →
dM = −
AB
− − →
grad V ·
− →
dM = −
V (B)
V (A)
dV
C = V (0, 0, 0) − V (1, 1, 1) = 1 + C
1.5. 1) Soit
V =
e r
r 2 à symétrie sphérique :
On a :
e r
r 2 =
− − →
grad f (r) =
∂ f
∂r
u r =
d f
dr
u r
d f
dr
=
1
r 2 ⇒ f (r) = −
1
r
+ cte
2) Calcul de div
e r
r 2
.
On a :
r 2 = x 2 + y 2 + z 2
r dr = r dx + y dy + z dz
V =
e r
r 2 =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
V x =
x
r 3
V y =
y
r 3
V z =
z
r 3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∂r
∂ x
=
x
r
∂r
∂ y
=
y
r
∂r
∂z
=
z
r
∂ V x
∂ x
=
1
r 3 + x
−
3
r 4
x
r
=
r 2 − 3x 2
r 5
∂ V y
∂ y
=
r 2 − 3y 2
r 5
∂ V z
∂z
=
r 2 + 3z 2
r 5
div
e r
r 2
=
3r 2 − 3(x 2 + y 2 + z 2 )
r 5
= 0
sauf pour r = 0 où
V n’est pas défini.
• Calcul de
− →
rot
e r
r 2
:
On peut faire un calcul direct, en utilisant la définition de l’opérateur
− →
rot .
Il est plus simple de remarquer que,
e r
r 2 étant égal à
− − →
grad f, on peut appliquer la relation vectorielle :
− →
rot(
− − →
grad f ) =
0
Corrigés
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