On en déduit finalement :
ϕ = x 2 − yx + y 2 − 2z 2 + C
1.4. Le champ
E est défini par :
E = yz e x + zx
e y + f (x,y) e z
1) Pour que
E soit un gradient, il faut que les dérivées croisées de ses composantes
soient égales deux à deux, soit :
∂ E x
∂ y
=
∂ E y
∂ x
⇒
z = z qui est vérifié identiquement
∂ E y
∂z
=
∂ E z
∂ y
∂ E z
∂ x
=
∂ E x
∂z
⇒
⇒
x =
∂ f
∂ y
∂ f
∂ x
= y
⎫
⎪ ⎬
⎪ ⎭
conditions nécessaires
∂ f
∂ y
= x
⇒
f = x y + g(x)
∂ f
∂ x
= y +
dg
dx
= y
⇒
dg
dx
= 0 ⇒ g = C
La fonction f doit donc être de la forme :
f = x y + C
2) Pour déterminer le potentiel V, on écrit que
E = −
− − →
grad V . D’où :
E x = yz = −
∂ V
∂ x
⇒
V = −x yz + u(y, z)
E y = xz = −
∂ V
∂ y
= xz −
∂u
∂ y
⇒
u = v(z)
E z = x y + C = −
∂ V
∂ x
= x y −
∂u
∂z
⇒
v = −Cz + cte
On en déduit :
V = −x yz − Cz + cte
3) Circulation entre les points (0, 0, 0) et (1, 1, 1)
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1 Calcul vectoriel