C = ak
θ 2
θ 1
e
kθ dθ = [ae
kθ ]
θ 2
θ 1
= a(e
kθ 2 − e
kθ 1 )
b) Le long de la cardioïde r = a(1 + cos θ), on a :
dC =
V ·
− →
dM = dr = −a sin θ dθ
C =
π
0
−a sin θ dθ = [a cos θ]
π
0
= −2a
1.3. Pour montrer que
V est un gradient, il suffit de vérifier que les dérivées croisées
de ses composantes sont égales deux à deux.
On a :
V = (2x − y) e x + (2y − x) e y − 4z e z
V x = 2x − y
V y = 2y − x
V z = −4z
∂ V x
∂ y
= −1
∂ V y
∂ x
= −1
∂ V y
∂z
= 0
∂ V z
∂ y
= 0
∂ V z
∂ y
= 0
∂ V x
∂z
= 0
⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
V est bien un champ de gradient.
• Détermination de la fonction ϕ.
On a :
dϕ =
∂ϕ
∂ x
dx +
∂ϕ
∂ y
dy +
∂ϕ
∂z
dz
et aussi :
dϕ =
− − →
grad ϕ ·
− →
dM =
V ·
− →
dM
On a donc :
∂ϕ
∂ x
= 2x − y
⇒
ϕ = x 2 − yx + f (y,z)
∂ϕ
∂ y
= −x +
∂ f
∂ y
= 2y − x
⇒
f = y 2 + g(z)
∂ϕ
∂z
=
∂g
∂z
− 4z
⇒
g = −2z 2 + C
où C est une constante arbitraire.
Corrigés
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