b) De (0, 0, 0) à (1, 0, 0) : y = 0
z = 0
dy = 0
dz = 0
C 1 =
1
0
3x
2 dx = 1
de (1, 0, 0) à (1, 1, 0) :
x = 1
z = 0
dx = 0
dz = 0
C 2 = 0
de (1, 1, 0) à (1, 1, 1) :
x = 1
y = 1
dx = 0
dy = 0
C 3 =
1
0
20z
2 dz =
20
3
C = C 1 + C 2 + C 3 = 1 +
20
3
=
23
3
Comme la circulation entre les deux points (0, 0, 0) et (1, 1, 1) dépend du chemin suivi,
A n’est pas un gradient.
1.2. On a :
V =
− − →
O M
O M
=
r
r
= =
e r
a) Le long de la spirale logarithmique r = ae kθ , on a :
dC =
V ·
− →
dM = =
e r · (dr
e r + r dθ
e θ )
= dr = ak e
kθ dθ
20
1 Calcul vectoriel
z
x
O
M
a
a
a
y
z = 0
dy = 0
dz = 0
C 1 =
1
0
3x
2 dx = 1
de (1, 0, 0) à (1, 1, 0) :
x = 1
z = 0
dx = 0
dz = 0
C 2 = 0
de (1, 1, 0) à (1, 1, 1) :
x = 1
y = 1
dx = 0
dy = 0
C 3 =
1
0
20z
2 dz =
20
3
C = C 1 + C 2 + C 3 = 1 +
20
3
=
23
3
Comme la circulation entre les deux points (0, 0, 0) et (1, 1, 1) dépend du chemin suivi,
A n’est pas un gradient.
1.2. On a :
V =
− − →
O M
O M
=
r
r
= =
e r
a) Le long de la spirale logarithmique r = ae kθ , on a :
dC =
V ·
− →
dM = =
e r · (dr
e r + r dθ
e θ )
= dr = ak e
kθ dθ
20
1 Calcul vectoriel
z
x
O
M
a
a
a
y