1.8. Soit le champ vectoriel :
V = 2z e x + 3 e y + 2x y e z
1) Montrer que le flux de
V sortant à travers l’hémisphère de centre O et de rayon R est le même
que le flux rentrant à travers la base constituée par
le disque de centre O et de rayon R du plan x Oy.
2) En déduire le flux sortant à travers l’hémisphère.
1.9. Déterminer le flux du champ de vecteurs
V = K
r
r 3 ( r =
− − →
O M) à travers une surface fermée contenant l’origine O. Même question pour une surface fermée ne
contenant pas le point O.
1.10. Vérifier le théorème de Stokes pour le
champ de vecteurs
V = 2y e x + 3x
e y − z 2
e z ,
dans le cas où S est la surface de l’hémisphère
supérieur d’équation x 2 + y 2 + z 2 = 9, et (C) le
contour sur lequel s’appuie cet hémisphère.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
z
x
O
R
R
y
(C )
Exercices
19
z
x
O
3
3
3
y
(S )
(C )
CORRIGÉS
1.1.
A = (3x 2 + 6y) e x − 14yz e y + 20x y 2
e z
a) Sur le segment de droite joignant (0, 0, 0) et (1, 1, 1), on a : x = y = z. On peut
donc écrire :
C =
(C 1 )
A ·
− →
d =
1
0
(3x
2
+ 6x)dx −
1
0
14x
2 dx +
1
0
20x
3 dx
=
x
3
+ 3x
2
−
14
3
x
3
+ 5x
4
1
0
=
13
3