1) Déterminer la fonction f pour que le champ
E dérive d’un potentiel V tel que :
E = −
− − →
grad V
2) Déterminer alors le potentiel de V.
3) Quelle est la circulation du champ
E entre les points A(0, 0, 0) et B(1, 1, 1) ?
1.5. 1) On considère le champ vectoriel à symétrie sphérique :
V =
e r
r 2 . Montrer que
ce champ dérive de la fonction scalaire f = −
1
r
par la relation
V =
− − →
grad f (r) .
2) Calculer div
e r
r 2
et
− →
rot
e r
r 2
.
1.6. Calculer le flux du champ de vecteurs :
V (M) = 4xz e x − y 2
e y + yz e z
à travers la surface du cube limité par x = 0,
x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1.
1.7. Calculer le flux du champ vectoriel :
V (M) = xz 2
e x + (x 2 y − z 3 ) e z + (2x y + y 2 z) e z
à travers la surface totale de l’hémisphère S
limité par z =
a 2 − x 2 − y 2 et z = 0.
18
1 Calcul vectoriel
z
x
O
y
1
1
1
z
x
O
y
a
(S )