1.1. On considère le champ vectoriel :
A = (3x 2 + 6y) e x − 14yz e y + 20xz 2
e z
Calculer la circulation de
A entre les points (0, 0, 0) et (1, 1, 1) le long des chemins
suivants :
a) le segment de droite joignant ces deux points,
b) les segments de droite allant de (0, 0, 0) à (1, 0, 0) puis de (1, 0, 0) à (1, 1, 0) et
enfin de (1, 1, 0) jusqu’à (1, 1, 1).
Ce champ vectoriel est-il un gradient ?
1.2. Soit le champ vectoriel :
V (M) =
− − →
O M
O M
avec
− − →
O M = r
e r
Calculer la circulation de
V le long de :
a) la spirale logarithmique d’équation polaire :
r = ae kθ ,
entre
θ 1 et θ 2
b) la cardioïde :
r = a(1 + cos θ),
entre
0 et π.
1.3. On considère le champ vectoriel :
V = (2x − y) e x + (2y − x) e y − 4z e z
Montrer que ce champ est un gradient, et déterminer la fonction scalaire ϕ dont il
dérive par la relation
V =
− − →
grad ϕ.
1.4. Un champ de vecteur
E, dans l’espace orthonormé
e x ,
e y ,
e z , est caractérisé par
ses composantes :
E =
⎛
⎝
yz
zx
f (x,y)
⎞
⎠ où f ne dépend que de x et y.
Exercices
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EXERCICES