Exemple 6.
On considère le champ vectoriel à
symétrie sphérique :
V = a r et la
sphère de rayon r centrée en O.
Vérifier le théorème d’Ostrogradsky
en calculant le flux de
V à travers la
surface de la sphère.
On a d’une part
= =
(S)
V ·
− →
dS = ar
(S)
e r ·
N dS
= ar S = 4πar 3
D’autre part :
div
V =
2
r
V r +
∂ V r
∂r
= 2a + a = 3a
On en déduit :
(τ)
div
V dτ = 3a
(τ)
dτ = 3a
4
3
πr 3
= 4πar 3
16
1 Calcul vectoriel
V
(S)
O
r