Formule du gradient :
(τ)
− − →
grad f dτ = =
(S)
f
− →
dS
(1.24)
Formule du rotationnel :
(τ)
− →
rot
A dτ = =
(S)
− →
dS ∧
A
(1.25)
Exemple 5.
On considère le champ vectoriel
V = (ax + by) e x + (cx + f y) e y
et le contour fermé ABC D A précisé sur la figure.
Vérifier le théorème de Stokes en calculant la
circulation de
V sur ce contour.
On a d’une part :
C =
C
V ·
− →
d =
1
0
axdx +
1
0
(c+ f y)dy +
0
1
(ax +b)dx +
0
1
f ydy = c−b
et d’autre part :
(S)
− →
rot
V ·
− →
dS =
(S)
− →
rot
V ·
N dS
et comme :
− →
rot(
V ) = (c − b) e z et
N = =
e z
il vient :
(S)
− →
rot
V ·
− →
dS =
1
0
1
0
(c − b)dxdy = c − b
1.8 TRANSFORMATIONS INTÉGRALES
15
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x
B
A
D
C
y
1
1
N