i 1 (t) et i 3 (t) sont décroissants. Étudions
le signe de la dérivée de i 2 (t) :
di 2
dt
=
q 0
2τ 2
− e
− t
τ + 9 e
− 3t
τ
Celle-ci change de signe pour :
e
2t
τ = 9
soit t =
τ ln 9
2
= τ ln 3 1,10 τ
Par ailleurs i 2 s'annule pour :
t =
τ
2
ln 3 0,55 τ
i 2 passe par un maximum (figure 2).
7) Les admittances des trois dipôles AB s'ajoutent :
1
Z
=
1
R
+
1
R + 1/jCω
+
1
R + 1/jCω
=
1
R
1 +
2
1 + 1/j RCω
=
1
R
3 + 1/j RCω
1 + 1/j RCω
soit enfin :
Z = R/
1 + 1/j RCω
3 + 1/j RCω
et
Z = R
1 + (RCω) 2
1 + 9 (RCω) 2
Calculons la dérivée logarithmique de Z :
Z
Z
=
1
2
2R 2 C 2 ω
1 + R 2 C 2 ω 2 −
1
2
2 × 9R 2 C 2 ω
1 + 9R 2 C 2 ω 2
= R 2 C 2 ω
1
1 + R 2 C 2 ω 2 −
1
1/9 + R 2 C 2 ω 2
Z est donc négative sauf pour ω = 0 où elle est nulle : Z est décroissante et
I = e 0 /Z croît de e 0 /R, pour ω = 0, à 3e 0 /R, pour ω tendant vers l'infini.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
FIG. 2
Corrigés
245
le signe de la dérivée de i 2 (t) :
di 2
dt
=
q 0
2τ 2
− e
− t
τ + 9 e
− 3t
τ
Celle-ci change de signe pour :
e
2t
τ = 9
soit t =
τ ln 9
2
= τ ln 3 1,10 τ
Par ailleurs i 2 s'annule pour :
t =
τ
2
ln 3 0,55 τ
i 2 passe par un maximum (figure 2).
7) Les admittances des trois dipôles AB s'ajoutent :
1
Z
=
1
R
+
1
R + 1/jCω
+
1
R + 1/jCω
=
1
R
1 +
2
1 + 1/j RCω
=
1
R
3 + 1/j RCω
1 + 1/j RCω
soit enfin :
Z = R/
1 + 1/j RCω
3 + 1/j RCω
et
Z = R
1 + (RCω) 2
1 + 9 (RCω) 2
Calculons la dérivée logarithmique de Z :
Z
Z
=
1
2
2R 2 C 2 ω
1 + R 2 C 2 ω 2 −
1
2
2 × 9R 2 C 2 ω
1 + 9R 2 C 2 ω 2
= R 2 C 2 ω
1
1 + R 2 C 2 ω 2 −
1
1/9 + R 2 C 2 ω 2
Z est donc négative sauf pour ω = 0 où elle est nulle : Z est décroissante et
I = e 0 /Z croît de e 0 /R, pour ω = 0, à 3e 0 /R, pour ω tendant vers l'infini.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
FIG. 2
Corrigés
245