4) L'intégration de cette équation donne :
i 3 = i 30 e
− t
τ
soit :
i 3 =
q 0
τ
e
− t
τ
5) Dérivons (2) et substituons −dq 1 /dt = i 1 ; il vient :
i 1
RC
+
di 1
dt
= −
di 3
dt
soit :
di 1
dt
+
3i 1
τ
=
q 0
τ 2 e
− t
τ
L'équation homogène correspondante admet la solution générale suivante :
i 1h = A e
− 3t
τ
Cherchons la solution particulière sous la forme i 1p = B e
− t
τ :
−
B
τ
+
3B
τ
=
q 0
τ 2
⇒
B =
q 0
2τ
La solution générale i 1 (t) est donc :
i 1 = A e
− 3t
τ +
q 0
2τ
e
− t
τ
6) On a:
i 10 =
2q 0
τ
= 1 +
q 0
2τ
⇒
A =
3q 0
2τ
Il vient par conséquent, compte tenu de (1) et de l'expression obtenue pour
i 3 (t) :
i 1 =
q 0
2τ
3 e
− 3t
τ + e
− t
τ
i 2 =
q 0
2τ
e
− t
τ − 3 e
− 3t
τ
Les trois intensités trouvées tendent bien sûr vers zéro quand t → ∞.
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Problèmes d’examen corrigés