d) Le théorème de Coulomb donne :
σ = −ε 0 E = −
q(D 2 − R 2 )
4πR
1
r 3
1
Remarque :
On vérifie que
(S)
σ dS = Q = −λq
3) On a montré que l’état d’équilibre représenté par le schéma suivant :
238
Problèmes d’examen corrigés
(S)
D
q
O
Ω
R
était identique, pour tout point à l’extérieur (ou au voisinage) de (S) à :
O
D
R
D
q
D
2 −R
2
d =
q' = −
q
A
Ω
Soit le nouvel état d’équilibre constitué par la sphère (S) chargée avec
q = −q = +
R
D
q et isolée. Dans ce dernier cas, la répartition de charge est
uniforme sur la surface, le potentiel de la sphère est le même que si la charge
q était placée au centre soit :
V = K
q
R
=
K q
D
,
En superposant ces deux états d’équilibre, on obtient l’état d’équilibre correspondant à une sphère isolée mise en présence d’une charge q placée à la
distance D de son centre. Schématiquement on a :