avec :
r 2
1 = x 2 + y 2 et r 2
2 = (x − d) 2 + y 2
(x − d) 2 + y 2
x 2 + y 2
= λ 2
d’où
x 2 − 2dx + d 2 + y 2 = λ 2 x 2 + λ 2 y 2
soit
x 2 (1 − λ 2 ) − 2d x + y 2 (1 − λ 2 ) = −d 2
Cette dernière équation peut se mettre sous la forme :
x −
d
1 − λ 2
2
−
d 2
(1 − λ 2 ) 2
+ y 2 = −
d 2
1 − λ 2
x −
d
1 − λ 2
2
+ y 2 =
λ 2 d 2
(1 − λ 2 ) 2
Dans le plan x Oy, c’est l’équation d’un cercle de centre C de coordonnées :
x c =
d
1 − λ 2
y c = 0
et de rayon
R =
λd
1 − λ 2
La symétrie de révolution autour de O A montre que la surface équipotentielle
V = 0 est bien la sphère (() de centre C et de rayon R.
2) a) D’après la question précédente, il suffit de prendre une charge
−q 1 = −λq placée en B confondu avec le point A situé à la distance d de O.
La surface (S) constitue l’équipotentielle (() si est en C. On a alors :
D = O = OC =
d
1 − λ 2
soit :
D =
R
λ
b) On déduit de 2) que :
Q = −λq
236
Problèmes d’examen corrigés
x'
x
y
M
C
A
− λq
R
Ω
(S)
O
q
y'