On obtient r 2 E 2 = C et la condition au point O implique que C = 0.
On a donc :
E 2 (r < a) =
0
– Pour r > a :
div E 2 =
ρ
ε 0
=
A
ε 0 r n
d
dr
(r 2 E 2 ) =
A
ε 0
r 2−n ⇒ r 2 E 2 =
A
ε 0
r 3−n
3 − n
+ C
avec
A =
3 − n
4π
Ze
a 3−n
soit :
E 2 (r > a) =
K Ze
r 2
a
r
n−3
+
C
r 2
e r
La détermination de la constante C se fait en écrivant la continuité du champ
total en r = a :
K Ze
a 2 + 0 =
K Ze
a 2 +
K Ze
a 2
a
a
n−3
+
C
a 2
Par suite :
C = −K Ze
et
E 2 (r a) =
K Ze
r 2
a
r
n−3
− 1
e r
Finalement, on obtient :
E =
K Ze
r 2
e r
(r a)
E =
K Ze
r 2
a
r
n−3
e r (r a)
Problème n° 4
1) On a : V (M) = K q
1
r 1
−
λ
r 2
= 0
r 2
r 1
= λ et
r 2
2
r 2
1
= λ 2
Corrigés
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