4πr 2 E =
Q int
ε 0
=
Ze
ε 0
a
r
n−3
E =
K Ze
r
a
r
n−3
e r
On a alors :
V (r) =
K Ze
(n − 2)r
a
r
n−3
+ C (C = constante)
La continuité du potentiel en r = a donne :
K Ze
a
+ C =
K Ze
(n − 2)a
⇒ C =
K Ze
a
3 − n
n − 2
Finalement, on obtient :
V (r a) =
K Ze
a
a
r
+
3 − n
n − 2
V (r a) =
K Ze
(n − 2)a
a
r
n−4
5) On peut retrouver l’expression du champ électrique, en utilisant d’une part
le théorème de Gauss sous sa forme locale, div
E =
ρ
ε 0
, et d’autre part le principe de superposition du champ créé par le noyau placé en O et du champ créé
par le cortège électronique. La symétrie sphérique du problème implique que :
div
E =
1
r 2
d
dr
(r 2 Er)
a) Champ
E 1 créé par le noyau :
E 1 =
K Ze
r 2
e r
b) Champ
E 2 créé par le cortège électronique :
– Pour r < a :
div
E 2 = 0 avec
E 2 (0) =
0 car tous les plans passant par O sont des plans de
symétrie.
234
Problèmes d’examen corrigés