soit enfin :
F = 4πa 3 dw
dx
e x
La sphère se déplace dans le sens des champs croissants.
Problème n° 2
A) 1) Soit un point M quelconque. Le système physique est invariant dans
toute rotation autour de la parallèle à Ox menée de M. Il doit en être de même
du champ électrique
E(M) qui est donc parallèle à l’axe x Ox.
Le système est de plus invariant dans toute
translation perpendiculaire à Ox.
Le champ
E ne dépend donc que de
l’abscisse x de M. Enfin, le système est
invariant dans une symétrie par rapport au
plan x = 0. Les champs sur les plans
x = a et x = −a sont donc opposés, quel
que soit a.
2) a) Calcul de E x pour tout point M d’abscisse x d ou x −d
On choisit comme surface de Gauss un
cylindre d’axe parallèle à Ox dont les
bases de surface S, symétriques par rapport à O, sont situées à l’extérieur de la
distribution de charge.
L’application du théorème de Gauss
donne, compte tenu que le flux latéral est
nul :
= 2S E =
(2d)Sρ
ε 0
E =
ρd
ε 0
⇒
E x = −
ρd
ε 0
pour
x −d
E x =
ρd
ε 0
pour
x d
b) Calcul de E x pour tout point M d’abscisse x ∈ [−d, +d]
Cette fois les bases du cylindre sont dans la région comprise entre (π) et (π ).
230
Problèmes d’examen corrigés
(Π)
( Π′)
x'
x
O
B
M
A
− d
+ d
2 d
(Π)
ρ
(Π′)
E (– x)
– d
+ d
x'
x
A
B
O
E (x)
2 d