V (M) = V 0 − E 0 r cos θ +
K P cos θ
r 2
= V 0 +
K cos θ
r 2
P −
E 0 r 3
K
Sur la surface :
V (a) = V 0
P =
a 3
K
E 0 ⇒ α =
a 3
K
D’où :
V (M) = V 0 +
E 0 cos θ
r 2 (a 3 − r 3 )
4)
E(M) = E r
e r + E θ
e θ = −
∂ V
∂r
e r −
1
r
∂ V
∂θ
e θ
Les composantes radiale et orthoradiale du champ sont donc :
E r = E 0
1 +
2a 3
r 3
cos θ
E θ = E 0
− 1 +
a 3
r 3
sin θ
5) À la surface d’une sphère chargée, le champ est :
E =
σ
ε 0
e r
où σ est la densité surfacique de charge.
Pour r = a, on a :
E =
E r
e r = 3E 0 cos θ
e r
σ = 3ε 0 E 0 cos θ
6) On a :
F = −
− − →
grad E p et
E p = −
P ·
E 0
F =
P ·
d
E 0
dx
e x =
a 3
K
E 0 ·
d
E 0
dx
e x
soit, avec
1
K
= 4πε 0 :
F = 4πa 3 d
dx
ε 0 E 2
0
2
e x
Corrigés
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