2) En considérant que la vitesse v 0 est pratiquement nulle, déterminer la
vitesse v(x) des électrons en un point quelconque M(x) en fonction de V (x).
3) Montrer que la projection de la vitesse sur une normale à l’axe x Ox est
constante. En déduire une relation entre les angles i 1 et i 2 que fait la trajectoire de l’électron avec x Ox aux points d’abscisse x 1 et x 2 .
En comparant l’expression obtenue à celle que donne la loi de Descartes en
optique pour un dioptre séparant deux milieux d’indice de réfraction n 1 et n 2 :
n 1 sin i 1 = n 2 sin i 2
montrer qu’on peut définir un indice de réfraction pour les électrons et trouver la relation de correspondance entre l’indice n et le potentiel V.
4) Quel est le rôle d’un tel dispositif dans un microscope électronique ?
On négligera, dans tout le problème, l’effet de la pesanteur.
Problème n° 6. Étude d'un réseau capacitif
On considère le circuit de la figure, dont
on respectera les conventions d'orientation.
1) Établir une relation entre i 1 , i 2 et i 3 .
2) Écrire V A − V B en fonction de i 1 , puis
i 2 et enfin i 3 .
À t = 0 le condensateur dans la branche
1 porte une charge q 0 ; l'autre condensateur est déchargé. En déduire les valeurs
initiales des intensités.
3) En éliminant i 1 et i 2 des relations obtenues au 2), montrer que l'équation
différentielle régissant i 3 peut s'écrire :
di 3
dt
+
i 3
τ
= 0
avec τ = 3RC.
4) Donner la solution générale de cette équation. Précisez la solution correspondant aux conditions initiales du 2).
5) En déduire l'équation différentielle régissant i 1 et en donner sa solution
générale.
Énoncés
225
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
FIG. 1
vitesse v(x) des électrons en un point quelconque M(x) en fonction de V (x).
3) Montrer que la projection de la vitesse sur une normale à l’axe x Ox est
constante. En déduire une relation entre les angles i 1 et i 2 que fait la trajectoire de l’électron avec x Ox aux points d’abscisse x 1 et x 2 .
En comparant l’expression obtenue à celle que donne la loi de Descartes en
optique pour un dioptre séparant deux milieux d’indice de réfraction n 1 et n 2 :
n 1 sin i 1 = n 2 sin i 2
montrer qu’on peut définir un indice de réfraction pour les électrons et trouver la relation de correspondance entre l’indice n et le potentiel V.
4) Quel est le rôle d’un tel dispositif dans un microscope électronique ?
On négligera, dans tout le problème, l’effet de la pesanteur.
Problème n° 6. Étude d'un réseau capacitif
On considère le circuit de la figure, dont
on respectera les conventions d'orientation.
1) Établir une relation entre i 1 , i 2 et i 3 .
2) Écrire V A − V B en fonction de i 1 , puis
i 2 et enfin i 3 .
À t = 0 le condensateur dans la branche
1 porte une charge q 0 ; l'autre condensateur est déchargé. En déduire les valeurs
initiales des intensités.
3) En éliminant i 1 et i 2 des relations obtenues au 2), montrer que l'équation
différentielle régissant i 3 peut s'écrire :
di 3
dt
+
i 3
τ
= 0
avec τ = 3RC.
4) Donner la solution générale de cette équation. Précisez la solution correspondant aux conditions initiales du 2).
5) En déduire l'équation différentielle régissant i 1 et en donner sa solution
générale.
Énoncés
225
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
FIG. 1