4) Montrer que cet électron a un mouvement périodique de pulsation ω p que
l’on explicitera.
Problème n° 3
Le cortège électronique d’un atome se représente d’une manière très simplifiée par une densité volumique de charge :
ρ(r) =
A
r n
pour
r a
ρ(r) = 0 pour
r < a
r étant la distance au centre O de cet atome, n, A et a sont des constantes. Le
noyau, placé en O, porte la charge Ze (Z : numéro atomique de l’atome,
e : valeur absolue de la charge de l’électron).
1) Calculer la charge totale q du cortège électronique.
2) Montrer que n doit être supérieur à une valeur que l’on déterminera.
3) L’atome étant neutre, exprimer la constante A.
4) En appliquant le théorème de Gauss, déterminer le champ électrique et le
potentiel en tout point de l’espace.
5) Retrouver l’expression du champ électrique en utilisant le théorème de
Gauss sous sa forme locale.
Problème n° 4
1) Deux charges électriques q et q = −λq (0 < λ < 1) sont placées, sur un
axe x Ox, respectivement en O et en A (x A = d).
Montrer que la surface équipotentielle
V = 0 est une sphère (() dont on déterminera les coordonnées du centre C et le
rayon R en fonction de d et λ.
2) On considère maintenant une charge q
placée en O et une sphère conductrice (S) reliée au sol (V = 0), de même
rayon R que la sphère et dont le centre se trouve à la distance D de q.
a) Déterminer D pour que la sphère (S) influencée par la charge q puisse être
remplacée par une charge ponctuelle −q 1 placée en un point B de la droite
O. On précisera la valeur de −q 1 et les coordonnées de B. La charge −q 1
est dite image électrique de la charge q par rapport à la sphère S.
Énoncés
223
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
y
x'
O
q
y'
A
q'
x
Ω
l’on explicitera.
Problème n° 3
Le cortège électronique d’un atome se représente d’une manière très simplifiée par une densité volumique de charge :
ρ(r) =
A
r n
pour
r a
ρ(r) = 0 pour
r < a
r étant la distance au centre O de cet atome, n, A et a sont des constantes. Le
noyau, placé en O, porte la charge Ze (Z : numéro atomique de l’atome,
e : valeur absolue de la charge de l’électron).
1) Calculer la charge totale q du cortège électronique.
2) Montrer que n doit être supérieur à une valeur que l’on déterminera.
3) L’atome étant neutre, exprimer la constante A.
4) En appliquant le théorème de Gauss, déterminer le champ électrique et le
potentiel en tout point de l’espace.
5) Retrouver l’expression du champ électrique en utilisant le théorème de
Gauss sous sa forme locale.
Problème n° 4
1) Deux charges électriques q et q = −λq (0 < λ < 1) sont placées, sur un
axe x Ox, respectivement en O et en A (x A = d).
Montrer que la surface équipotentielle
V = 0 est une sphère (() dont on déterminera les coordonnées du centre C et le
rayon R en fonction de d et λ.
2) On considère maintenant une charge q
placée en O et une sphère conductrice (S) reliée au sol (V = 0), de même
rayon R que la sphère et dont le centre se trouve à la distance D de q.
a) Déterminer D pour que la sphère (S) influencée par la charge q puisse être
remplacée par une charge ponctuelle −q 1 placée en un point B de la droite
O. On précisera la valeur de −q 1 et les coordonnées de B. La charge −q 1
est dite image électrique de la charge q par rapport à la sphère S.
Énoncés
223
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
y
x'
O
q
y'
A
q'
x
Ω