Problème n° 2
A) Deux plans parallèles infinis (π) et (π ) coupent perpendiculairement l’axe x Ox respectivement aux points A et B d’abscisse – d et + d
(voir figure).
Une distribution uniforme de charge de densité volumique ρ remplit l’espace
compris entre les deux plans.
1) Montrer que le champ
E, créé par cette distribution de charge, est parallèle
à x Ox.
2) a) En appliquant le théorème de Gauss, déterminer le champ produit par
l’ensemble des charges en tout point M d’abscisse x.
b) Tracer la courbe représentant la variation de la composante E x du champ
en fonction de x.
B) Application : oscillation d’un gaz d’électrons
Soit une lame de cuivre d’épaisseur 2d dont les autres dimensions sont grandes devant d.
On s’intéresse au mouvement des électrons se
déplaçant, par rapport au réseau d’ions positifs,
perpendiculairement à la lame, suivant la direction de l’axe x Ox. Dans l’état d’équilibre, le
nombre d’électrons par unité de volume est n 0 .
On suppose que les électrons de même
abscisse x 0 subissent le même déplacement
x − x 0 . Ainsi, si x > x 0 , le gaz d’électrons
situé à droite du plan (P) d’abscisse x sera comprimé, alors que le gaz d’électrons à gauche de (P) sera dilaté : la neutralité locale n’est plus maintenue ; cependant la plaque de cuivre étant isolée, sa charge totale est nulle.
1) En faisant l’hypothèse que les densités du gaz d’électrons comprimé ou
dilaté s’uniformisent instantanément, calculer les densités de charge totale
(ions + électrons) ρ d et ρ g créés respectivement à droite et à gauche de (P)
par le déplacement du plan (P) de x 0 à x.
2) En utilisant les résultats de la partie A), déterminer les composantes E dx et
E gx des champs créés sur le plan (P), d’abscisse x, par ρ d et ρ g . En déduire
que le champ total E x est proportionnel au déplacement x − x 0 de (P).
3) En négligeant l’effet de la pesanteur, quelle est la force agissant sur un des
électrons du plan (P) ?
222
Problèmes d’examen corrigés
x'
x
+ d
− d
A
B
O
ρ = cte
(Π)
( Π′)
x'
x
x
2 d
O
(Π)
( Π′)
(P )
A) Deux plans parallèles infinis (π) et (π ) coupent perpendiculairement l’axe x Ox respectivement aux points A et B d’abscisse – d et + d
(voir figure).
Une distribution uniforme de charge de densité volumique ρ remplit l’espace
compris entre les deux plans.
1) Montrer que le champ
E, créé par cette distribution de charge, est parallèle
à x Ox.
2) a) En appliquant le théorème de Gauss, déterminer le champ produit par
l’ensemble des charges en tout point M d’abscisse x.
b) Tracer la courbe représentant la variation de la composante E x du champ
en fonction de x.
B) Application : oscillation d’un gaz d’électrons
Soit une lame de cuivre d’épaisseur 2d dont les autres dimensions sont grandes devant d.
On s’intéresse au mouvement des électrons se
déplaçant, par rapport au réseau d’ions positifs,
perpendiculairement à la lame, suivant la direction de l’axe x Ox. Dans l’état d’équilibre, le
nombre d’électrons par unité de volume est n 0 .
On suppose que les électrons de même
abscisse x 0 subissent le même déplacement
x − x 0 . Ainsi, si x > x 0 , le gaz d’électrons
situé à droite du plan (P) d’abscisse x sera comprimé, alors que le gaz d’électrons à gauche de (P) sera dilaté : la neutralité locale n’est plus maintenue ; cependant la plaque de cuivre étant isolée, sa charge totale est nulle.
1) En faisant l’hypothèse que les densités du gaz d’électrons comprimé ou
dilaté s’uniformisent instantanément, calculer les densités de charge totale
(ions + électrons) ρ d et ρ g créés respectivement à droite et à gauche de (P)
par le déplacement du plan (P) de x 0 à x.
2) En utilisant les résultats de la partie A), déterminer les composantes E dx et
E gx des champs créés sur le plan (P), d’abscisse x, par ρ d et ρ g . En déduire
que le champ total E x est proportionnel au déplacement x − x 0 de (P).
3) En négligeant l’effet de la pesanteur, quelle est la force agissant sur un des
électrons du plan (P) ?
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Problèmes d’examen corrigés
x'
x
+ d
− d
A
B
O
ρ = cte
(Π)
( Π′)
x'
x
x
2 d
O
(Π)
( Π′)
(P )