En reportant I et I 1 /j C 1 ω en fonction de
V dans l'expression de
U , on obtient :
U = −R
j Cω
V
1 + j RCω
+
V
1 + j R 1 C 1 ω
=
− j RCω(1 + j R 1 C 1 ω) + (1 + j RCω)
(1 + j RCω)(1 + j R 1 C 1 ω)
V
U =
1 + RC R 1 C 1 ω 2
(1 + j RCω)(1 + j R 1 C 1 ω)
V
On aura U 0 = V 0 si le coefficient de
V est de module 1, c'est-à-dire, en posant
RCω = a et R 1 C 1 ω = b, si :
|1 + ab|
|(1 + ja| |1 + jb)|
= 1
soit, en égalant les carrés des modules du numérateur et du dénominateur :
1 + 2ab + a
2 b
2
= 1 + a
2
+ b
2
+ a
2 b
2
⇐⇒ (a − b)
2
= 0 ⇐⇒ a = b
On doit donc avoir RC = R 1 C 1 et l'expression de
U devient :
U =
1 − j RCω
1 + j RCω
V
Utilisation du théorème de Millmann
Le théorème de Millmann donne le résultat aussi simplement. Posons
V B = 0 , de
sorte que
V A =
V , et appliquons le théorème aux nœuds M et N :
V M =
V A /R + j Cω
V B
1/R + j Cω
=
V
1 + j RCω
V N =
V B /R 1 + j C 1 ω
V A
1/R 1 + j C 1 ω
=
j R 1 C 1 ω
V
1 + j R 1 C 1 ω
U =
V M −
V N =
(1 + j R 1 C 1 ω) − j R 1 C 1 ω (1 + j RCω)
(1 + j RCω) (1 + j R 1 C 1 ω)
V
=
1 + RC R 1 C 1 ω 2
(1 + j RCω) (1 + j R 1 C 1 ω)
V
On retrouve donc l'expression ci-dessus.
216
7 Réseaux électrocinétiques