Cette relation permet de définir la coordonnée du rotationnel dans une direction quelconque de vecteur unitaire
n.
On en déduit :
C =
(C)
V ·
− →
dM =
(S)
− →
rot
V
·
− →
dS
Cette formule, dite de Stokes (voir paragraphe 1.8), facilite parfois le calcul
de la circulation d’un vecteur le long d’un contour fermé.
1.6.4 Laplacien
L’opérateur Laplacien (noté ) est défini par :
=
∂ 2
∂ x 2 +
∂ 2
∂ y 2 +
∂ 2
∂z 2
Il peut s’appliquer à une fonction scalaire :
f =
∂ 2 f
∂ x 2 +
∂ 2 f
∂ y 2 +
∂ 2 f
∂z 2
ou à un vecteur :
V =
∂ 2
V
∂ x 2 +
∂ 2
V
∂ y 2 +
∂ 2
V
∂z 2
= =
e x V x + +
e y V y + +
e z V z
L’intérêt de tous ces opérateurs vectoriels est d’une part, de permettre une
écriture concise des équations dites « locales » (exemple : équations de
Maxwell), et d’autre part, de faciliter les calculs, grâce aux relations vectorielles qui existent entre eux, et aux transformations intégrales qu’ils permettent d’effectuer.
1.7. RELATIONS VECTORIELLES
Produit mixte :
A · (
B ∧
C) =
C · (
A ∧
B) =
B · (
C ∧
A)
(1.12)
Double produit vectoriel :
A ∧
B ∧
C =
B(
A ·
C) −
C(
A ·
B)
(1.13)
1.7 RELATIONS VECTORIELLES
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