Coordonnées cartésiennes :
− →
rot
V =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
e x
e y
e z
∂
∂ x
∂
∂ y
∂
∂z
V x V y V z
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
∂ V z
∂ y
−
∂ V y
∂z
∂ V x
∂z
−
∂ V z
∂ x
∂ V y
∂ x
−
∂ V x
∂ y
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
e x
e y
e z
Coordonnées cylindriques :
(
− →
rot
V ) r =
1
r
∂ V z
∂θ
−
∂ V θ
∂z
(
− →
rot
V ) θ =
∂ V r
∂z
−
∂ V z
∂r
(
− →
rot
V ) z =
1
r
∂
∂r
(r V θ ) −
∂ V r
∂θ
Coordonnées sphériques :
(
− →
rot
V ) r =
1
r sin θ
∂(sin θV ϕ )
∂θ
−
∂ V θ
∂ϕ
(
− →
rot
V ) θ =
1
r sin θ
∂ V r
∂ϕ
−
1
r
∂(r V ϕ )
∂r
(
− →
rot
V ) φ =
1
r
∂(r V θ )
∂r
−
∂ V r
∂θ
Rotationnel et circulation d’un vecteur :
Par définition, la différentielle de la circulation de
V sur un contour fermé (C)
est relié au rotationnel de
V par :
dC =
− →
rot
V
·
− →
dS
(1.11)
où dS est un élément d’une surface quelconque (S)
qui s’appuie sur (C).
12
1 Calcul vectoriel