Coordonnées cartésiennes :
div
V =
∂ V x
∂ x
+
∂ V y
∂ y
+
∂ V z
∂z
Coordonnées cylindriques :
On montre que div
V peut se mettre sous la forme condensée suivante :
div
V =
1
r
∂(r V r )
∂r
+
∂ V θ
∂θ
+
∂ V z
∂z
Coordonnées sphériques :
Une expression simplifiée de div
V est donnée par :
div
V =
1
r 2
∂(r 2 V r )
∂r
+
1
r sin θ
∂(V θ sin θ)
∂θ
+
1
r sin θ
∂ V ϕ
∂ϕ
Divergence et flux d’un vecteur :
Par définition, la différentielle du flux de
V à travers une surface fermée (S)
est reliée à la divergence de
V par :
d = div
V dτ
(1.10)
où dτ représente un volume élémentaire : la divergence d’un champ vectoriel
représente le flux de ce vecteur sortant de l’unité de volume.
On en déduit :
= =
(S)
V ·
− →
dS =
(τ) div
V dτ
Cette formule, dite de Green-Ostrogradsky (voir paragraphe 1.8) facilite parfois le calcul du flux d’un vecteur à travers une surface fermée.
1.6.3 Rotationnel
L’opérateur
− →
rot (ou encore
∇∧) associe à un vecteur
V le produit vectoriel de
∇ par ce vecteur :
− →
rot
V =
∇ ∧
V
1.6 OPÉRATEURS VECTORIELS
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