Sens du gradient :
Soit deux points M 1 , M 2 sur deux surfaces de niveau voisines f = λ 1
et f = λ 2 > λ 1 .
On a
d f = λ 2 − λ 1 =
− − →
grad f
·
−−−→
M 1 M 2 > 0
Le vecteur
− − →
grad f est orienté dans le sens des valeurs croissantes de f.
Circulation d’un gradient :
C AB =
AB
− − →
grad f ·
− →
dM =
f (B)
f (A)
d f
AB
− − →
grad f
·
− →
dM = f (B) − f (A)
(1.8)
Elle est égale à la variation de la fonction f et ne dépend pas du chemin parcouru.
Cette relation facilite parfois le calcul de la circulation d’un vecteur le long du
chemin. Encore faut-il que ce vecteur soit un gradient. On montre que, pour
qu’un vecteur
V soit un champ de gradient, il faut et il suffit que les dérivées
partielles croisées de ses composantes soient égales deux à deux, soit :
∂ V x
∂ y
=
∂ V y
∂ x
,
∂ V y
∂z
=
∂ V z
∂ y
,
∂ V z
∂ x
=
∂ V x
∂z
(voir exercices)
Dans le cas particulier d’un parcours fermé, on a :
C A A =
− − →
grad f
·
− →
dM = 0
(1.9)
1.6.2 Divergence
L’opérateur div (ou encore
∇· ) associe à un vecteur
V le produit scalaire de
∇ par ce vecteur
div
V =
∇ ·
V (scalaire)
10
1 Calcul vectoriel