On en déduit :
d f =
− − →
grad f ·
− →
dM
= (grad f ) r dr + (grad f ) θ r dθ + (grad f ) z dz
Or
d f =
∂ f
∂r
dr +
∂ f
∂θ
dθ +
∂ f
∂z
dz
− − →
grad f =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
∂ f
∂r
∂ f
r∂θ
∂ f
∂z
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
e r
e θ
e z
Coordonnées sphériques : f = f (r, θ, ϕ)
Un calcul analogue au précédent donne :
− − →
grad f =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
∂ f
∂r
∂ f
r∂θ
1
r sin θ
∂ f
∂ϕ
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
e r
e θ
e ϕ
Propriétés :
Les surfaces de niveau sont définies par
f (x, y, z) = cte.
Direction du gradient :
Soit une surface de niveau f (x, y, z) = λ.
Pour un point M se déplaçant sur cette surface, on a :
d f =
− − →
grad f
·
− →
dM = 0
Le vecteur
− − →
grad f est donc normal à la surface de niveau.
1.6 OPÉRATEURS VECTORIELS
9
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.