• Cône de demi-angle au sommet α 0 :
dS = 2πr sin α r dα
= 2πr 2 sin α dα
=
S
dS
r 2 =
α 0
0
2π sin α dα
= 2π(1 − cos α 0 )
1.6. OPÉRATEURS VECTORIELS
1.6.1 Gradient
L’opérateur
− − →
grad (ou encore
∇, opérateur vectoriel polaire nabla) associe à
une fonction scalaire f (x, y, z) un vecteur de composantes
∂ f
∂ x
,
∂ f
∂ y
,
∂ f
∂z
.
Comme :
d f =
∂ f
∂ x
dx +
∂ f
∂ y
dy +
∂ f
∂z
dz
on en déduit
d f =
− − →
grad f
·
− →
dM
(1.7)
relation que l’on utilise pour définir le gradient dans un système de coordonnées quelconques.
Coordonnées cartésiennes : f = f (x, y, z)
− − →
grad f =
∂ f
∂ x
e x +
∂ f
∂ y
e y +
∂ f
∂z
e z
Coordonnées cylindriques : f = f (r, θ, z)
− − →
grad f = (
− − →
grad f ) r
e r + (
− − →
grad f ) θ
e θ + (
− − →
grad f ) z
e z
− →
dM = dr
e r + r dθ
e θ + dz
e z
8
1 Calcul vectoriel
α α o r