E = u + Ri = u + RC
du
dt
+
Ru
r
E = τ
du
dt
+
1 +
R
r
u
On obtient donc la même équation que dans la première phase en posant
τ =
τ
1 + R/r
et E =
E
1 + R/r
Par suite, avec la condition initiale u(t 1 ) = V a , il
vient :
u(t) = E
+ A e
−(t−t 1 )/τ = E
+ (V a − E
) e
−(t−t 1 )/τ
On voit que u tend vers E quand t tend vers l'infini : si E < V e , alors la lampe
s'éteindra à un instant t 2 et un régime périodique va s'établir. La condition est donc
en définitive :
V a < E < V e
1 +
R
r
2) La deuxième phase s'achève quand u(t 2 ) = V e :
V e = E + (V a − E ) e −(t 2 −t 1 )/τ
t 2 − t 1 = τ ln
V a − E
V e − E
Si t 0 est l'instant où u atteint la valeur V e
dans la première phase (voir le graphe), la
période des oscillations de la lampe sera :
T = (t 1 − t 0 ) + (t 2 − t 1 )
On aura par conséquent, de même qu'au 1) :
t 0 = τ ln
E
E − V e
et t 1 − t 0 = τ ln
E − V e
E − V a
Finalement :
T = τ ln
E − V e
E − V a
+ τ
ln
V a − E
V e − E
A.N.
1 +
R
r
= 5
τ = RC = 2 · 10 4 × 10 −6 = 0,02 s
τ
= τ/5 = 4 · 10 −3 s
E = E/5 = 25V
T
= 0,02 ln
50
35
+ 4 · 10 −3 ln
65
50
soit
T = 8,2 · 10 −3 s.
208
7 Réseaux électrocinétiques
FIG. 7.29