7.1. Surtension aux bornes d'un interrupteur
1) La loi des mailles s'écrit :
L
di
dt
+ Ri − E = u(t) =
q
C
soit, avec i = dq/dt = Cdu/dt et τ = L/R :
d 2 u
dt 2 +
R
L
du
dt
+
u
LC
= E
C étant très faible, le discriminant de l'équation caractéristique de l'équation homogène est certainement négatif. On a donc une solution de la forme :
u(t) = E + (A cos ωt + B sin ωt) e
− t
τ
Avant l'ouverture de l'interrupteur l'inductance ne joue aucun rôle, le courant est
continu et a pour intensité I = E/R. L'inductance impose la continuité du courant,
c'est-à -dire de du/dt , et donc a fortiori celle de la tension u :
du
dt
=
−
1
τ
A + ωB
cos ωt +
−
1
τ
B − ωA
sin ωt
e
− t
τ
Soit, à t = 0 :
E = E + A
⇒
A = 0
(continuité de u)
i(0) = C
du
dt
(0)
⇒
E
R
= CωB
(continuité de i)
En définitive :
u(t) = E
1 +
1
RCω
sin ωt
e
− t
τ
2) La constante de temps du circuit est :
τ =
L
R
=
10 −5
10 2
soit
τ 6 · 10
−7 s.
Si l'on néglige l'amortissement, la période des oscillations est :
T 0 = 2π
√
LC = 2π
10 −5 × 10 −13
soit
T 0 6 · 10
−9 s.
206
7 Réseaux électrocinétiques
CORRIGÉS
FIG. 7.27