᭿ Loi d'Ohm complexe. Impédance
Il s'agit de trouver l'intensité i(t) du courant en régime quasi stationnaire,
c'est-à-dire en négligeant le régime transitoire d'établissement du courant.
La loi des mailles s'écrit, avec les conventions d'orientation de la figure :
Ri + L
di
dt
+
q
C
− u(t) = 0
On obtient l'équation différentielle de la charge du condensateur en dérivant
cette équation par rapport au temps et en substituant i = +dq/dt :
R
dq
dt
+ L
d 2 q
dt 2 +
q
C
− U m cos ωt = 0
soit :
LC
d 2 q
dt 2 + RC
dq
dt
+ q = CU m cos ωt
(7.29)
Il faut donc trouver une solution particulière de cette équation, laquelle représente le régime stationnaire. Cette solution est nécessairement sinusoïdale et
il est commode d'utiliser ici la représentation complexe.
Nous conviendrons dorénavant de mettre systématiquement un tilde (~) à la
grandeur complexe ( x) associée à une grandeur réelle donnée x et nous noterons j le symbole des imaginaires pour éviter toute confusion avec les intensités des courants.
En posant :
q(t) = Re q(t)
et
u(t) = Re
U m e j ωt
l'équation (7.29) devient :
LC
d 2 q
dt 2 + RC
d q
dt
+ q = CU m e j ωt
(7.30)
Il est évident que l'on peut trouver une solution particulière de cette équation
sous la forme :
q =
Q m e j ωt
En reportant cette expression dans (7.30), il vient après simplification par
e j ωt :
1 − LCω 2 + jωRC
Q m = CU m
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7 Réseaux électrocinétiques