On pose y 1 = Re
A 1 e iωt , y 2 = Re
A 2 e iωt , y = Re
A e iωt avec
A 1 = A 1 e iϕ 1 ,
etc. (amplitudes complexes). Dans ces conditions l'amplitude complexe de
l'oscillation résultante est la somme des amplitudes complexes :
A =
A 1 +
A 2
(7.25)
Notez bien que les amplitudes réelles ne s'ajoutent pas, excepté dans le cas où
les vibrations sont en phase.
Par identification des parties réelle et imaginaire, il vient :
A 2 = A 2
1 + A 2
2 + 2A 1 A 2 cos (ϕ 1 − ϕ 2 )
(7.26)
tan ϕ =
A 1 sin ϕ 1 + A 2 sin ϕ 2
A 1 cos ϕ 1 + A 2 cos ϕ 2
(7.27)
᭿ Dérivation et intégration
La méthode est également très utile pour effectuer la dérivation ou l'intégration d'une fonction sinusoïdale en la transformant en une simple multiplication ou division : dériver e i(ω t+ϕ) , c'est la multiplier par iω, l'intégrer c'est la
diviser par iω.
᭿ Valeur moyenne d'un produit de fonctions sinusoïdales
Attention ! La méthode ne vaut que pour des superpositions, c'est-à-dire pour
des expressions linéaires, elle est inutilisable pour des formes quadratiques
par exemple : le produit de deux grandeurs sinusoïdales ne peut se faire que
sous forme réelle car la partie réelle du produit de deux complexes n'est pas
égale au produit des parties réelles.
Cependant, on peut utiliser la relation suivante entre les amplitudes complexes
F et
G de deux grandeurs sinusoïdales f (t) et g (t) de même fréquence pour
calculer la valeur moyenne sur une période du produit f g :
f (t) g(t) =
1
2
Re
F
G ∗
(7.28)
7.3.2 Dipôle R, L, C en régime sinusoïdal
Le dipôle R,L ,C de la figure est alimenté par
une source délivrant la tension :
u = U m cos ωt
7.3 CIRCUITS EN RÉGIME SINUSOÏDAL
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FIG. 7.13